(2002•大連)如圖,在⊙O中,AB為⊙O的弦,C、D是直線AB上兩點,且AC=BD,
求證:△OCD為等腰三角形.

【答案】分析:此題解法較多,下面以揀兩種常用的解法進(jìn)行說明:
①連接OA、OB,由于OA、OB都是⊙O的半徑,則OA=OB,且∠OAC=∠OBD,進(jìn)而可得∠OAC=∠OBD,然后通過證△OAC≌△OBD得到OC=OD,即△OCD是等腰三角形的結(jié)論.
②過O作AB垂線,設(shè)垂足為M,由垂徑定理可得AM=BM,已知AC=BD,那么CM=DM,即OM垂直平分線段CD,由此證得OC=OD,即△OCD為等腰三角形.
解答:證明:(證法一)過點O點作OM⊥AB,垂足為M;
∵OM⊥AB,∴AM=BM,
∵AC=BD,∴CM=DM,
又∵OM⊥AB,∴OC=OD,
∴△OCD為等腰三角形.

(證法二)連接OA,OB;
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,
∴△CBO≌△DAO,
∴OC=OD,
∴△OCD為等腰三角形;

(證法三)(以上同證法二)
∴∠CAO=∠DBO,
又∵AC=BD,
∴△CAO≌△DBO,
∴△OCD為等腰三角形.
點評:此題主要考查了垂徑定理、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識,難度不大.
練習(xí)冊系列答案
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(2002•大連)如圖,P為x軸正半軸上一點,半圓P交x軸于A、B兩點,交y軸于C點,弦AE
分別交OC、CB于D、F.已知=,
(1)求證:AD=CD;
(2)若DF=,tan∠ECB=,求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(3)設(shè)M為x軸負(fù)半軸上一點,OM=AE,是否存在過點M的直線,使該直線與(2)中所得的拋物線的兩個交點到y(tǒng)軸距離相等?若存在,求出這條直線的解析式;若不存在,請說明理由.

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(2)若DF=,tan∠ECB=,求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(3)設(shè)M為x軸負(fù)半軸上一點,OM=AE,是否存在過點M的直線,使該直線與(2)中所得的拋物線的兩個交點到y(tǒng)軸距離相等?若存在,求出這條直線的解析式;若不存在,請說明理由.

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