Question

如圖，等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)B（4，2），D（-1，0），且一次函數(shù)y=kx-1的圖象平分等腰梯形ABCD的面積．
（1）求等腰梯形ABCD的中位線長及一次函數(shù)y=kx-1中k的值．
（2）若關(guān)于x的函數(shù)y=mx²-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個交點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

分析：（1）過B作BE⊥AD于E，連接OB、CE交于點(diǎn)P，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得OD=AE，從而可得出AD的長，這樣即可求出中位線的長，然后判斷出一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），利用待定系數(shù)法求解k的值即可．
（2）分類討論，①當(dāng)m=0時，②當(dāng)m≠0時，1°拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，2°拋物線不經(jīng)過原點(diǎn)，分別得出判別式應(yīng)滿足的條件，從而得出m的值．

解答：解：（1）過B作BE⊥AD于E，連接OB、CE交于點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴OD=AE，
∴AD=OD+OE+AE=2OD+BC=6，
故中位線的長度=

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2

（BC+AD）=5；
又∵Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），
∴△ODC和△EAB的面積相等，
由圖可知P為矩形OCBE的對稱中心，則過P點(diǎn)的直線平分矩形OCBE的面積，
故可得一次函數(shù)y=kx-1的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，
∵點(diǎn)B（4，2），O（0，0），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
代入得：2k-1=1，
解得：k=1．

（2）∵y=mx²-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個交點(diǎn)，
分情況討論：①當(dāng)m=0時，y=-x+1，其圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)，分別是：（0，1），（1，0）；
②當(dāng)m≠0時，函數(shù)為拋物線，且與y軸總有一個交點(diǎn)（0，2m+1），
1°若拋物線過原點(diǎn)時，2m+1=0，即m=-

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2

，此時△=（m+1）²＞0，符合題意；
③若拋物線不經(jīng)過原點(diǎn)，則此時△=（3m+1）²-4m（2m+1）=0，
解得：m₁=m₂=-1；
綜述m的值為m=0或-

1

2

或-1．

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)及等腰梯形的知識，解答本題第一問的關(guān)鍵在于判斷出一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)P，第二問注意分類討論，不要漏解，難度較大．