Question

已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（8，0），B（8，10），C（0，4），點(diǎn)D（4，7）是CB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線OAB的路線移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間是秒t，設(shè)△OPD的面積是S．
（1）求直線BC的解析式；
（2）請求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）求S的最大值；
（4）當(dāng)9≤t＜12時(shí)，求S的范圍．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出BC的解析式，再分別將B、C的坐標(biāo)代入解析式，進(jìn)而得出所求；
（2）用t表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示P到OD的距離，再根據(jù)D點(diǎn)坐標(biāo)求出OD長，然后表示出△OPD的面積；
（3）根據(jù)（2）中已經(jīng)表示出的S與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象的隨自變量的變化而變化的關(guān)系求出最大值；
（4）根據(jù)（2）中已經(jīng)表示出的S與t的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍得出所求．

解答：解：（1）直線BC過點(diǎn)C（0，4），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+4，
將B（8，10）代入得y=

3

4

x+4；

（2）當(dāng)0＜t≤8時(shí)（2分）
過D作DE⊥OA于E點(diǎn)，則OP=t，DE=7
S=

1

2

OP×DE=

7t

2

（3分）
當(dāng)8＜t≤18時(shí)（4分）
過D作GH⊥BA于H點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)G，則DG=4，DH=4
AP=t-8，（5分）
BP=18-t（6分）
S=S_梯形OABC-S_△OCD-S_△OAP-S_△DPB
=

4+10

2

×8-

1

2

×4×4-

1

2

×8（t-8）-

1

2

（18-t）×4（7分）
=-2t+44；（8分）

（3）當(dāng)0＜t≤8時(shí)
當(dāng)t=8時(shí)S的最大值是S=

7t

2

=

7×8

2

=28（9分）
當(dāng)8＜t≤18時(shí)
S隨著t的增大而減少，所以S無最大值（10分）
所以當(dāng)t=8時(shí)S的最大值是28．（11分）

（4）9≤t＜12時(shí)
-24＜-2t≤-18
20＜-2t+44≤26
即20＜S≤26．（12分）

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，是典型的數(shù)形結(jié)合的題目．