Question

如圖，P為△ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC=2a，PB=a，∠ABC=45°，∠APC=60°，則AP的長(zhǎng)是________．

Answer 1

（+1）a
分析：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AP于D，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠PCD=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得PD=PC=a，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出PD=PB=a，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BDP=∠DBP=30°，從而得到∠DBP=∠PCD，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD=CD，根據(jù)∠ABC=45°求出∠ABD=15°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BAD=15°，從而得到∠BAD=∠ABD，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AD=BD，最后根據(jù)AP=AD+PD代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AP于D，
∵∠APC=60°，
∴∠PCD=90°-60°=30°，
∴PD=PC=a，
∵PB=a，
∴PD=PB=a，
∴∠BDP=∠DBP，
∵∠BDP+∠DBP=∠APC=60°，
∴∠BDP=∠DBP=30°，
∴∠DBP=∠PCD，
∴BD=CD===a，
又∵∠ABC=45°，∠DBP=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBP=45°-30°=15°，
∴∠BAD=∠BDP-∠ABD=30°-15°=15°，
∴∠BAD=∠ABD=15°，
∴AD=BD，
∴AD=BD=CD=a，
∴AP=AD+PD=a+a=（+1）a．
故答案為：（+1）a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊，作輔助線構(gòu)造出直角三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．