Question

在直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4交x軸于A，交y軸于D
（1）以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△AMD，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)為______
（2）以AD為邊作正方形ABCD，連BD，P是線段BD上（不與B、D重合）的一點(diǎn)，在BD上截取PG=，過G作GF⊥BD，交BC于F，連AP則AP與PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，試判斷線段PD、PG、BG之間有何關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）M（-6，2）或（2，-2）；

（2）AP=PF且AP⊥PF．理由如下：
過A作AH⊥DB，如圖，
∵A（-2，0），D（0，4），
∴AD==2，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BD=2•=2，
∴AH=DH=BD=，
而PG=，
∴DP+BG=，
而DH=DP+PH=，
∴PH=BG，
∵∠GBF=45°，
∴BG=GF，
∴Rt△APH≌Rt△PFG，
∴AP=PF，∠PAH=∠FPG，
∴∠APH+∠GPF=90°，即AP⊥PF．

（3）DP²+BG²=PG²．理由如下：
把△AGB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AMD，連MP，如圖，
∴∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，
∴∠MDP=90°，
∴DP²+BG²=PM²；
又∵∠PAG=45°，
∴∠DAP+∠BAG=45°，
∴∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，
而AM=AG，
∴△AMP≌△AGP，
∴MP=PG，
∴DP²+BG²=PG²．
分析：（1）先根據(jù)y=2x+4確定A點(diǎn)與D點(diǎn)坐標(biāo)，然后把AD繞點(diǎn)A順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)90°，即把Rt△ADO繞點(diǎn)A順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，利用三角形全等易確定M的坐標(biāo)；
（2）過A作AH⊥DB，先計(jì)算出AD=2，利用正方形的性質(zhì)得到BD=2•=2，AH=DH=BD=，由PG=得DP+BG=，則PH=BG，易證Rt△APH≌Rt△PFG，即可得到AP=PF且AP⊥PF；
（3）把△AGB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AMD，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，AM=AG，則∠MDP=90°，根據(jù)勾股定理有DP²+BG²=PM²；由∠PAG=45°，則∠DAP+∠BAG=45°，得到∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，易證得△AMP≌△AGP，得到MP=PG，即有DP²+BG²=PG²．
點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：利用一次函數(shù)的解析式確定某些線段的長，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明線段的關(guān)系．