Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm．AB=5cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度從頂點(diǎn)C出發(fā)沿CA運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以同樣的速度從頂點(diǎn)A出發(fā)沿AB運(yùn)動(dòng)，伴隨點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)直線DE始終保持垂直平分線段PQ，點(diǎn)D為垂足，直線DE與BC交于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)頂點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止，問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形QBED為直角梯形？

Answer 1

分析：四邊形QBED為直角梯形，分為∠PQB=90°和∠CPQ=90°兩種情況，得出三角形相似，利用相似比求t的值．

解答：解：設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)ts時(shí)，四邊形QBED為直角梯形，
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，得DE∥QB，
則四邊形QBED是直角梯形（如圖1），
此時(shí)△APQ∽△ABC，
則

AQ

AC

=

AP

AB

，即

t

3

=

3-t

5

，
解得t=

9

8

；

②當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，得PQ∥BC，
則四邊形QBED是直角梯形（如圖2），

此時(shí)△APQ∽△ACB，
則

AQ

AB

=

AP

AC

，即

t

5

=

3-t

3

，
解得t=

15

8

．
綜上，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)

9

8

s或

15

8

s時(shí)，四邊形QBED是直角梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)．關(guān)鍵是由直角梯形的直角的可能情況，利用平行線得相似三角形，分類求解．