Question

如圖，已知：直線y=-x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C（1，0）三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點(diǎn)P，使ΔABO與ΔADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）：由題意得，A（3，0），B（0，3）

∵拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點(diǎn)分別代入得方程組

        解得：

∴拋物線的解析式為       

（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形,如圖所示，

若△ABO∽△AP1D，則

∴DP1=AD=4  ,          ∴P1

若△ABO∽△ADP2 ，過(guò)點(diǎn)P2作P2 M⊥x軸于M，AD=4,

∵△ABO為等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P2M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合∴P2（1，2）

（3）如圖設(shè)點(diǎn)E ，則

①當(dāng)P1(-1,4)時(shí)，

 

 

 

 

 

 

 

 

S四邊形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE =  

  ∴    ∴

∵點(diǎn)E在x軸下方  ∴

代入得： ,即

∵△=(-4)2-4×7=-12<0     ∴此方程無(wú)解

②當(dāng)P2（1，2）時(shí)，S四邊形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =     

 ∴    ∴

∵點(diǎn)E在x軸下方  ∴  代入得：

即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0

∴此方程無(wú)解

綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E。