Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，BA＝BC，AO⊥BC于點O，AO＝3CO＝6．F是AB邊上的一個動點，過F作FE∥BC交AC邊于點E，交AO于點G，連結FO，EO，設EF長為x，△EFO的面積為S．

(1)求OB的長；

(2)求S關于x的函數(shù)表達式和x的取值范圍；

(3)判斷：當△EFO的面積最大時，△EFO和△CBA是否相似并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)8;(2) (0＜x＜10) ;(3)見解析.

【解析】

（1）由AO=3CO=6易得CO=2，結合AB=BC可得AB=BC=BO+2，這樣在Rt△ABO中由AB2=AO2+BO2可得（2+OB）2=62+OB2，由此即可解得OB的值；

（2）由EF∥BC可得△AFE∽△ABC，由此可得，結合AG=AO-GO，EF=x及（1）中所得結論即可用含x的式子表達GO的長，再利用S△OEF=EF·GO即可求得所求函數(shù)關系式了；

（3）由（2）中所得解析配方可求得當△OEF面積最大時，EF=5，由此可知此時EF：BC=1：2，由EF∥BC可得△AFE∽△ABC，從而可得，由此可得點E、F是AC、AB的中點，結合AO⊥BC可得OF=AB，OE=AC，從而可得，由此即可得到△EFO∽△CBA.

(1)∵AO＝3CO＝6，

∴CO＝2，

∴AB =BC= BO+2，

∵AO⊥BC，

∴AB2＝AO2＋OB2，

∴(2＋OB)2＝36＋OB2，

解得OB＝8；

(2) 由(1)得BC=OB+2=10，

∵FE∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

∴，即 ，

解得：OG=，

∴S＝EF×OG＝，

即(0＜x＜10) ；

(3) 當△EFO的面積最大時，△EFO∽△CBA，理由如下：

∵ ，

∴當x=5，即EF=5時，S最大= ，

此時：，

∵FE∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

∴，

∴E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，

∵AO⊥BC，

∴，，

∴，

∴△EFO∽△CBA.