Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）以點(diǎn)A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，請(qǐng)判斷⊙A與y軸有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）在直線BC上方的拋物線上任取一點(diǎn)P，連接PB、PC，請(qǐng)問：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）相交；（3）S△PBC有最大值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

【解析】

試題分析：（1）把A、B兩點(diǎn)分別代入拋物線解析可求得a和b，可求得拋物線解析式；

（2）過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD為⊙A的半徑，由條件可證明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AD的長(zhǎng)，可求得半徑，進(jìn)而得出答案；

（3）由待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，過P作PQ∥y軸，交直線BC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)E，可設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，可表示出△PQC和△PQB的面積，可表示出△PBC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，容易求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），∴把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）相交，理由：過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖1，∵⊙A與BC相切，∴AD為⊙A的半徑，由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC===，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，∴△ABD∽△CBO，∴，即，解得AD=，即⊙A的半徑為，∵＞1，∴⊙A與y軸相交；

（3）∵C（0，﹣），∴可設(shè)直線BC解析式為y=kx﹣，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得k=，∴直線BC的解析式為，過P作PQ∥y軸，交直線BC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)E，如圖2，設(shè)P（x，），則Q（x，），∴PQ=（）﹣（）= =，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQOE+PQBE=PQ（OE+BE）=PQOB=PQ=，∴當(dāng)x=時(shí)，S△PBC有最大值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時(shí)，△PBC的面積有最大值．