Question

（2010•達州）如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．下列條件中，能證明△ABC是直角三角形的有    （多選、錯選不得分）．
①∠A+∠B=90°               
②AB²=AC²+BC²
③                
④CD²=AD•BD．

Answer 1

【答案】分析：根據三角形內角和是180°、勾股定理、余弦函數、相似三角形的性質等來逐一判斷各結論是否符合題意即可．
解答：解：①∵三角形內角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．故選項①正確．
②AB，AC，BC分別為△ABC三個邊，由勾股定理的逆定理可知，②正確．
③題目所給的比例線段不是△ACB和△CDB的對應邊，且夾角不相等，無法證明△ACB與△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③錯誤；
④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，
又∵CD²=AD•BD，（即 ）
∴△ACD∽△CBD
∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°
△ABC是直角三角形
∴故選項④正確；
故正確的結論為①②④．
點評：本題考查直角三角形的性質和勾股定理等知識的應用，只要利用直角三角形的這些特性加以判斷即可．