Question

如圖，已知直線y=x，與雙曲線y=（k＞0）交于A、B兩點，且A點的橫坐標為4．

（1）求k的值及B點的坐標；
（2）若雙曲線y=（k＞0）上一點C的縱坐標為2，求△AOC的面積；
（3）在x軸上找一點P，使以點O、C、P為頂點的三角形是等腰三角形，試寫出P點的坐標．

Answer 1

解：（1）把x=4代入y=x得y=1，
∴A點坐標為（4，1），
把A（4，1）代入y=得k=4×1=4，
∵直線y=x與雙曲線y=的交點關于原點對稱，
∴B點坐標為（-4，-1）；

（2）作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，如圖，
把x=2代入y=得y=2，
∴C點坐標為（2，2），
∴S_△OCD=S_△OAE=×4=2，
∵S_△OCD+S_梯形CDEA=S_△OAE+S_△AOC，
∴S_△AOC=（1+2）（4-2）=3；

（3）∵C（2，2）
∴OC=2，
當OC=OP時，△OCP是等腰三角形，即P點落在P₁或P₂的位置，此時P點坐標為（-2，0）或（2，0）；
當CO=CP時，△OCP是等腰三角形，即P點落在E點的位置，此時P點坐標為（4，0）；
當PO=PC時，△OCP是等腰三角形，即P點落在D點的位置，此時P點坐標為（2，0），
∴滿足條件的P點坐標為（，0）、（-，0）、（4，O）、（2，0）．
分析：（1）由于A點的橫坐標為4，所以把x=4代入y=x得y=1，得到A點坐標為（4，1），再把A點坐標代入•反比例函數(shù)解析式可求出k的值；然后利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點關于原點對稱確定B點坐標；
（2）作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，先確定C點坐標為（2，2），根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到S_△OCD=S_△OAE=×4=2，再利用S_△OCD+S_梯形CDEA=S_△OAE+S_△AOC，得到S_△AOC=S_梯形CDEA，然后根據(jù)梯形的面積公式進行計算；
（3）分類討論：當OC=OP時，△OCP是等腰三角形，即P點落在P₁或P₂的位置；當CO=CP時，△OCP是等腰三角形，即P點落在E點的位置；當PO=PC時，△OCP是等腰三角形，即P點落在D點的位置，然后根據(jù)x軸上點的坐標特征寫出滿足條件的P點坐標．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義和等腰三角形的判定與性質(zhì)．