Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=-x+交x軸于點C，交y軸于點A．等腰直角三角板OBD的頂點D與點C重合，如圖A所示．把三角板繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α（0°＜α＜180°），使B點恰好落在AC上的B'處，如圖B所示．
（1）求圖A中的點B的坐標(biāo)；
（2）求α的值；
（3）若二次函數(shù)y=mx²+3x的圖象經(jīng)過（1）中的點B，判斷點B′是否在這條拋物線上，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-x+交x軸于點C，交y軸于點A，
∴點A的坐標(biāo)為（0，），點C的坐標(biāo)為（2，0）．
∵等腰直角三角板OBD的頂點D與點C重合，
∴OD=2，∠BOD=45°．
過點B作BM⊥OC于M．
∴OM=．
∴BM=1，OB=．
∴點B的坐標(biāo)為（1，1）

（2）∵OA=，OC=2，∠AOC=90°，
∴∠ACO=30°．
過點O作OE⊥AC于E．
∴OE=1．
∵在Rt△B′EO中，OB′=，OE=1，
∴∠B′OE=45°．
∴∠EOD=90°．
又∵∠EOC=60°，
∴∠COD=30°．
∴α=30°．

（3）判斷：點B'在這條拋物線上．
理由：∵點B'在直線AC上，
∴點B'的坐標(biāo)為（a，-a+）．
∵a²+（-a+）²=OB'²，
∴a²+（-a+）²=（）²．
解方程，得a₁=，a₂=（不合題意，舍去）．
∴點B'的坐標(biāo)為（，）．
又∵二次函數(shù)y=mx²+3x過B（1，1），
∴m=-2．
∴二次函數(shù)的解析式為y=-2x²+3x．把x=代入y=-2x²+3x，得y=
∴點B'在這條拋物線上．
（注：對于每題的不同解法，請老師們根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分．）
分析：（1）根據(jù)直線y=-x+交x軸于點C，交y軸于點A，得出DO的長，進而得出B點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)已知得出在Rt△B′EO中，OB′=，OE=1，得出∠EOD=90°，進而得出∠COD=30°；
（3）首先得出點B'的坐標(biāo)為（，），進而求出m的值，將B′點代入解析式，即可得出B′是否在這條拋物線上．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出B′點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．