Question

探索研究：
（1）觀察一列數(shù)2，4，8，16，32，…，發(fā)現(xiàn)從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數(shù)，這個常數(shù)是

2

；根據(jù)此規(guī)律．如果n．（n為正整數(shù)）表示這個數(shù)列的第n項，那么a₁₈=

2¹⁸

，a_n=

2ⁿ

．
（2）如果欲求1+3+3²+3³+…+3²⁰的值，
可令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰，①
將①式兩邊同乘以3，得
3S=

3+3²+3³+…+3²⁰+3²¹

，②
由②減去①式，得
S=

321-1

2

．
（3）用由特殊到一般的方法知：若數(shù)列a₁，a₂，a₃，…a_n，從第二項開始每一項與前一項之比的常數(shù)為q，則a_n=

a₁q^n-1

（用含a₁，q，n的代數(shù)式表示），如果這個常數(shù)q≠1，那么a₁+a₂+a₃+…+a_n=

a1qn-a1

q-1

（用含a₁，q，n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可得在這個數(shù)列中，從第二項開始，每一項與前一項之比是2；有第一個數(shù)為2，故可得a₁₈，a_n的值；
（2）根據(jù)題中的提示，可得S的值；
（3）由（2）的方法，依次可以推出a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，注意分兩種情況討論．

解答：解：（1）每一項與前一項之比是一個常數(shù)，這個常數(shù)是2，
∴a₁₈=2¹⁸，a_n=2ⁿ；

（2）令s=1+3+3²+3³+…+3²⁰
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²¹
3S-S=3²¹-1
S=

1

2

（3²¹-1）；

（3）∵第二項開始每一項與前一項之比的常數(shù)為q，
∴a_n=a₁q^n-1，
∵S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1 ①
∴qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ ②
②-①得：S_n=

a1qn-a1

q-1

．
故答案為：2、2¹⁸、2ⁿ；3+3²+3³+3⁴+…+3²¹、

1

2

（3²¹-1）；a₁q^n-1、1

a1qn-a1

q-1

．

點評：本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．本題的規(guī)律為：這個數(shù)列中，從第二項開始，每一項與前一項之比是2．要注意：第（3）題要注意分兩種情況討論．