Question

【題目】如圖，已知拋物線y=-x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（8，0）．

（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸方程；

（2）連接AC、BC，試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；

（3）M為拋物線上BC之間的一點(diǎn)，N為線段BC上的一點(diǎn)，若MN∥y軸，求MN的最大值；

（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+x+4，x=3；（2）△AOC∽△COB．（3）4；（4）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，4+）或（3，4-）或（3，0）時(shí)，△ACQ為等腰三角形時(shí)．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b的值，即可得到拋物線解析式，再根據(jù)對(duì)稱軸方程列式計(jì)算即可得解；

（2）令y=0，解方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0求出y的值得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出OA、OB、OC，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明；

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出解析式，再表示出MN，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；

（4）利用勾股定理列式求出AC，過點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱軸于D，然后分①AC=CQ時(shí)，利用勾股定理列式求出DQ，分點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方和下方兩種情況求出點(diǎn)Q到x軸的距離，再寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；②點(diǎn)Q為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)時(shí)，AQ=CQ，再寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）∵點(diǎn)B（8，0）在拋物線y=-x2+bx+4上，

∴-×64+8b+4=0，

解得b=，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4，

對(duì)稱軸為直線x=-=3；

（2）△AOC∽△COB．

理由如下：令y=0，則-x2+x+4=0，

即x2-6x-16=0，

解得x1=-2，x2=8，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），

令x=0，則y=4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），

∴OA=2，OB=8，OC=4，

∵=2，∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB；

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

則，

解得，

∴直線BC的解析式為y=-x+4，

∵M(jìn)N∥y軸，

∴MN=-x2+x+4-（-x+4），

=-x2+x+4+x-4，

=-x2+2x，

=-（x-4）2+4，

∴當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最大，最大值為4；

（4）由勾股定理得，AC=，

過點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱軸于D，則CD=3，

①AC=CQ時(shí)，DQ==，

點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4+，

此時(shí)點(diǎn)Q1（3，4+），

點(diǎn)Q在點(diǎn)D的下方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4-，

此時(shí)點(diǎn)Q2（3，4-），

②點(diǎn)Q為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)時(shí)，AQ=5，

CQ==5，

∴AQ=CQ，

此時(shí)，點(diǎn)Q3（3，0），

③當(dāng)AC=AQ時(shí)，∵AC=，點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離為5，＜5，∴這種情形不存在．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，4+）或（3，4-）或（3，0）時(shí)，△ACQ為等腰三角形時(shí)．