Question

如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=1．
（1）若BC=3，AD=AB，求∠A的余弦值；
（2）連接BD，若△ADB與△BCD相似，設(shè)cotA=x，AB=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）作DE⊥AB，在Rt△ADE中利用勾股定理求出AE的長，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出∠A的余弦值；
（2）易得△ADB∽△BCD，得到∠ADB=90°，根據(jù)正切求出BC=x，根據(jù)勾股定理得到DB關(guān)于x的關(guān)系式，再利用△ABD∽△BDC，列出關(guān)系式，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）過點D作DE⊥AB，垂足為點E，
設(shè)AE=x，則AD=x+1．（11分）
根據(jù)題意，在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²．
∴x²+9=（x+1）²，（1分）
解得x=4．（1分）
即AE=4，AD=5，
∴cos∠A=

AE

AD

=

4

5

；（1分）

（2）∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∵∠ABC=90°，△ADB∽△BCD，
∴△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°．（1分）
∴∠DBC=∠A，
在△BCD中，由CD=1，cot∠DBC=cotA=x得，BC=x，（1分）
從而DB=

x2+1

，
由△ABD∽△BDC得，

AB

BD

=

BD

DC

，
即

y

BD

=

BD

1

．
∴y=x²+1．

點評：此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定及解直角三角形的知識，找到圖形中的直角三角形是解題的關(guān)鍵．