Question

在邊長為6的菱形ABCD中，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C向終點(diǎn)C運(yùn)動，連接DM交AC于點(diǎn)N.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時，連接BN.

①求證：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求點(diǎn)M到AD的距離及tanα的值；

（2）如圖2，若∠ABC = 90°，記點(diǎn)M運(yùn)動所經(jīng)過的路程為x（6≤x≤12）.

試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形.

 

Answer 1

（1）①證明：∵四邊形ABCD是菱形

　　　　　　 ∴AB? = AD，∠1 =∠2

　　　　　　 又∵AN = AN

　　　　　　 ∴△ABN ≌ △ADN

　　 ②解：作MH⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)H，由AD∥BC，得∠MAH =∠ABC = 60°，

　 　　　 在Rt△AMH中，MH = AM?sin60° = 4×sin60° = 2，

　　　　　 ∴點(diǎn)M到AD的距離為 2.

易求AH=2，則DH=6＋2=8.

在Rt△DMH中，tan∠MDH=，

由①知，∠MDH=∠ABN=α.

故tanα=

（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形

　　 此時，∠CAD=45°.

　 下面分三種情形：

　　 Ⅰ）若ND=NA，則∠ADN=∠NAD=45°.

　　　　 此時，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)B重合，得x=6；

　　 Ⅱ）若DN=DA，則∠DNA=∠DAN=45°.

　　　　 此時，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C重合，得x=12；

　　 Ⅲ）若AN=AD=6，則∠1=∠2，

由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，

∴∠3=∠4，從而CM=CN，

易求AC=6，∴CM=CN=AC－AN=6－6，

故x = 12－CM=12－（6－6）=18－6

綜上所述：當(dāng)x = 6或12 或18－6時，△ADN是等腰三角形