Question

（2003•福州）已知：如圖，等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合，但不與點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E；過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F；過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，設(shè)BP=x，AQ=y．
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)BP的長(zhǎng)等于多少時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；
（3）當(dāng)線段PE、FQ相交時(shí)，寫出線段PE、EF、FQ所圍成三角形的周長(zhǎng)的取值范圍（不必寫出解題過(guò)程）

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形BPE中，用x表示出BE的長(zhǎng)；同理在直角三角形ECF中，用EC表示出CF的長(zhǎng)；同理在直角三角形AFQ中，用AF表示出AQ的長(zhǎng)；而AQ=y，由此可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)P，Q重合時(shí)，y+x=2，然后聯(lián)立（1）的函數(shù)式即可求出x的值即BP的長(zhǎng)．
（3）當(dāng)線段PE，F(xiàn)Q相交時(shí)，因?yàn)椤螾EF=∠EFQ=60°，
所以由線段PE，EF，F(xiàn)Q所圍成的三角形仍是一個(gè)等邊三角形，其邊長(zhǎng)等于EF長(zhǎng)，
由勾股定理得：EF=CF=（1-）；
所以線段PE，EF，F(xiàn)Q所圍成的三角形周長(zhǎng)為：C=3EF=3（1-）．
而當(dāng)線段PE，F(xiàn)Q相交時(shí)，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x++≥2，x≥；
所以當(dāng)線段PE，F(xiàn)Q相交時(shí)，（≤x≤2）
因?yàn)镃=3（1-）中，C隨x增大而減小．
所以3（1-）≤C≤3（1-），即≤C≤2；
所以當(dāng)線段PE，F(xiàn)Q相交時(shí)，線段PE，EF，F(xiàn)Q所圍成的三角形周長(zhǎng)C的取值范圍為≤C≤2．
解答：解：（1）∵△ABC為等邊三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2
在△BEP中，∵PE⊥BC，∠B=60°
∴∠BPE=30°，
而BP=x
∴BE=x，
∴EC=2-x
在△CFE中，∵∠C=60°，EF⊥CF
∴∠FEC=30°，
∴FC=1-x
同理，在△FAQ中可得AQ=+x
而AQ=y，
∴y=+x（0＜x≤2）

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，有AQ+BP=AB=2
∴x+y=2（6分）
∴x+y=2，y=+x，解得：x=
∴當(dāng)BP的長(zhǎng)為時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；

（3）解：設(shè)三角形的周長(zhǎng)為C，
當(dāng)線段PE，F(xiàn)Q相交時(shí)，因?yàn)椤螾EF=∠EFQ=60°，
所以由線段PE，EF，F(xiàn)Q所圍成的三角形仍是一個(gè)等邊三角形，其邊長(zhǎng)等于EF長(zhǎng)，
由勾股定理得：EF=CF=（1-）；
所以線段PE，EF，F(xiàn)Q所圍成的三角形周長(zhǎng)為：C=3EF=3（1-）．
而當(dāng)線段PE，F(xiàn)Q相交時(shí)，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x++≥2，x≥；
所以當(dāng)線段PE，F(xiàn)Q相交時(shí)，（≤x≤2）
因?yàn)镃=3（1-）中，C隨x增大而減�。�
所以3（1-）≤C≤3（1-），即≤C≤2；
所以當(dāng)線段PE，F(xiàn)Q相交時(shí)，線段PE，EF，F(xiàn)Q所圍成的三角形周長(zhǎng)C的取值范圍為≤C≤2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．