Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12) 兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4. 設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）如圖，在直線 y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

Answer 1

【答案】（1）y= x2－8x+12，（4，－4）；（2）存在，當(dāng)D(，)時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；

（2）首先求出直線BP的解析式，進(jìn)而利用當(dāng)BD=OP時(shí)，得出X的值，即當(dāng)x=時(shí)四邊形OPBD為等腰梯形.

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c

由題意得 解得

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2－8x+12

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，－4）

（2）存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形. 理由如下：

當(dāng)y=0時(shí)，x2-8x+12=0，∴x1=2 ，x2=6

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）

設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m

則 解得

∴直線BP的解析式為y=2x－12

∴直線OD∥BP

∵頂點(diǎn)坐標(biāo)P（4， －4），∴ OP=4

設(shè)D(x，2x)，則BD2=（2x）2+(6－x)2

當(dāng)BD=OP時(shí)，（2x）2+(6－x)2=32

解得：x1=，x 2=2

當(dāng)x2=2時(shí)，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去

∴當(dāng)x=時(shí)四邊形OPBD為等腰梯形

∴當(dāng)D(，)時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形

“點(diǎn)睛”此題主要考查了待定系數(shù)法求二次解析式以及等腰梯形的性質(zhì)與判定以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，熟練應(yīng)用等腰梯形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.