Question

①已知正三角形的邊長為a，其內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，r：a：R=

 

；
②已知正方形的邊長為a，其內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，r：a：R=

 

；
③已知正六邊形的邊長為a，其內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，r：a：R=

 

；
④面積為64cm²的正方形的外接圓面積為

 

cm²；若正方形截去四個角后構(gòu)成一個正八邊形，則正八邊形的邊長為

 

cm，此正八邊形的面積為

 

cm²；
⑤周長為54cm的正九邊形的內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)的面積為

 

cm²．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓

專題：

分析：①利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；
②利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；
③利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；
④根據(jù)題意畫出圖形，然后由等腰三角形的性質(zhì)，可構(gòu)造方程：2x+

2

x=8，繼而求得答案；
⑤由垂徑定理即可求得內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)的面積為：πR²-πr²=π×（

6

2

）²=9π．

解答：解：①如圖①，等邊三角形的邊長的一半、內(nèi)切圓的半徑和外接圓的半徑組成了一個30°的直角三角形，
則r?a?R=1：2

3

：2．

②如圖②，作出正方形的邊心距，連接正方形的一個頂點(diǎn)和中心可得到一直角三角形．
在中心的直角三角形的角為360°÷4÷2=45°，
∴內(nèi)切圓的半徑為

a

2

，外接圓的半徑為

2

2

a，
∴r：a：R=1：2：

2

．

③如圖③，∵△AOB是等邊三角形，
∴OA=AB，OM=

3

2

OA，
∴r：a：R=2：2：

3

；

④如圖④，∵面積為64cm²的正方形的邊長為8cm，
∴外接圓的半徑為：4

2

cm，
∴外接圓面積為：32πcm²；
如圖∵設(shè)剪去三角形的直角邊長xcm，根據(jù)勾股定理可得，三角形的斜邊長為

2

xcm，即正八邊形的邊長為

2

xcm，
∴2x+

2

x=8，
解得：x=8-4

2

，
∴正八邊形的邊長為8-4

2

cm，
∴此正八邊形的面積為：64-

1

2

×（8-4

2

）²×4=92

2

-128（cm²）；

④∵周長為54cm的正九邊形的邊長為：54÷9=6（cm），
∴內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)的面積為：πR²-πr²=π×（

6

2

）²=9π．
故答案為：①1：2

3

：2；②1：2：

2

；③2：2：

3

；④32π，8-4

2

，92

2

-128；⑤9π．

點(diǎn)評：此題考查了正多邊形與圓的知識以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．