Question

（2013•濟(jì)寧）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求證：線段AB為⊙P的直徑；
（2）求△AOB的面積；
（3）如圖2，Q是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，以Q為圓心，QO為半徑畫圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、D．
求證：DO•OC=BO•OA．

Answer 1

分析：（1）∠AOB=90°，由圓周角定理的推論，可以證明AB是⊙P的直徑；
（2）將△AOB的面積用含點(diǎn)P坐標(biāo)的表達(dá)式表示出來，容易計(jì)算出結(jié)果；
（3）對(duì)于反比例函數(shù)上另外一點(diǎn)Q，⊙Q與坐標(biāo)軸所形成的△COD的面積，依然不變，與△AOB的面積相等．

解答：（1）證明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所對(duì)的圓周角，
∴AB是⊙P的直徑．

（2）解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＞0），
∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上一點(diǎn)，∴mn=12．
如答圖，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，則OM=m，ON=n．
由垂徑定理可知，點(diǎn)M為OA中點(diǎn)，點(diǎn)N為OB中點(diǎn)，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=

1

2

BO•OA=

1

2

×2n×2m=2mn=2×12=24．

（3）證明：若點(diǎn)Q為反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，
參照（2），同理可得：S_△COD=

1

2

DO•CO=24，
則有：S_△COD=S_△AOB=24，即

1

2

BO•OA=

1

2

DO•CO，
∴DO•OC=BO•OA．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)，難度不大．試題的核心是考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義．對(duì)本題而言，若反比例函數(shù)系數(shù)為k，則可以證明⊙P在坐標(biāo)軸上所截的兩條線段的乘積等于4k；對(duì)于另外一點(diǎn)Q所形成的⊙Q，此結(jié)論依然成立．