Question

如圖所示，把一個直角三角尺ABC繞著60°角的頂點B順時針旋轉，使得點C與AB的延長線上的點D重合，已知BC=6．
（1）三角尺旋轉了多少度？連接CD，試判斷△BCD的形狀；
（2）求AD的長；
（3）連接CE，試猜想線段AC與CE的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵直角三角尺ABC繞著60°角的頂點B順時針旋轉，點C與AB的延長線上的點D重合，
∴BD=BC，∠DBC等于旋轉角，且∠DBC=180°-60°=120°，
∴三角尺旋轉了120度，△BCD為等腰三角形；

（2）∵三角尺ABC為直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2×6=12，
∵BD=BC，A、B、D三點在一直線上，
∴AD=AB+BD=12+6=18；

（3）如圖，連接CE，則AC=CE．
證明如下：
∵BC=BD，
即△BCD為等腰三角形，
又∵∠EBD=∠ABC=60°，
而點A、B、D在一條直線上，
∴∠CBE=180°-（∠ABC+∠EBD）=60°=∠DBE，
即BE平分等腰△BCD的頂角，
∴BE垂直平分底邊CD，
∴CE=DE，
而DE=AC
所以AC=CE．
分析：（1）由直角三角尺ABC繞著60°角的頂點B順時針旋轉，點C與AB的延長線上的點D重合，根據旋轉的性質得BD=BC，∠DBC等于旋轉角，且∠DBC=180°-60°=120°，即可判斷所三角尺旋轉的度數，△BCD的形狀；
（2）由三角尺ABC為直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，得到AB=2BC=2×6=12，而BD=BC，即可得到AD=AB+BD的長；
（3）連接CE，△BCD為等腰三角形，由∠CBE=180°-（∠ABC+∠EBD）=60°=∠DBE，根據等腰三角形的性質得到BE垂直平分底邊CD，則CE=DE，即可得到AC=CE．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系以及等腰三角形的性質．