Question

有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過(guò)程是：   

第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開(kāi)

（如圖1）；

第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2）.

 

(（圖1）                    （圖2）                 

請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

（1）如圖2，若延長(zhǎng)MN交線段BC于P，△BMP是什么三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP ？

Answer 1

 解：（1）△BMP是等邊三角形.     

          證明：連結(jié)AN

             ∵EF垂直平分AB   ∴AN = BN

由折疊知 AB = BN

∴AN = AB = BN   ∴△ABN為等邊三角形  

∴∠ABN =60°  ∴∠PBN =30°           

又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =90°

 ∴∠BPN =60°

∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°

∴∠BMP =60°

∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°

∴△BMP為等邊三角形 .  

（2）要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC ≥BP

在Rt△BNP中， BN = BA =a，∠PBN =30°

∴BP =    ∴b≥  ∴a≤b .

∴當(dāng)a≤b時(shí)，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP.