Question

（2012•天津）“三等分任意角”是數(shù)學史上一個著名問題．已知一個角∠MAN，設(shè)∠α=

1

3

∠MAN．
（Ⅰ）當∠MAN=69°時，∠α的大小為

23

（度）；
（Ⅱ）如圖，將∠MAN放置在每個小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行，另一邊AN經(jīng)過格點B，且AB=2.5cm．現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺，請你在圖中作出∠α，并簡要說明做法（不要求證明）

如圖，讓直尺有刻度一邊過點A，設(shè)該邊與過點B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點C，與過點B水平方向的網(wǎng)格線交于點D，保持直尺有刻度的一邊過點A，調(diào)整點C、D的位置，使CD=5cm，畫射線AD，此時∠MAD即為所求的∠α．

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，用69°乘以

1

3

，計算即可得解；
（Ⅱ）利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作以點B為直角頂點的直角三角形，并且使斜邊所在的直線過點A，且斜邊的長度為5，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得斜邊上的中線等于AB的長度，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可知，∠BAD=2∠BDC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BDC=∠MAD，從而得到∠MAD=

1

3

∠MAN．

解答：解：（Ⅰ）

1

3

×69°=23°；

（Ⅱ）如圖，讓直尺有刻度一邊過點A，設(shè)該邊與過點B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點C，與過點B水平方向的網(wǎng)格線交于點D，保持直尺有刻度的一邊過點A，調(diào)整點C、D的位置，使CD=5cm，畫射線AD，此時∠MAD即為所求的∠α．

點評：本題考查了應用與設(shè)計作圖，主要利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，使作出的直角三角形斜邊上的中線恰好把三角形分成兩個等腰三角形是解題的關(guān)鍵．