已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(14,0)和C(0,-8),對稱軸為x=4.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC,若動點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動,同時另一動點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動,問是否存在某一時刻,使線段PQ被直線CD垂直平分?若存在,請求出此時的時間t(秒)和點(diǎn)Q的運(yùn)動速度;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的結(jié)論下,直線x=1上是否存在點(diǎn)M使△MPQ為等腰三角形?若存在,請求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)由題意拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(14,0)和C(0,-8),對稱軸為x=4,根據(jù)待定系數(shù)法可以求得該拋物線的解析式;
(2)假設(shè)存在,設(shè)出時間t,則根據(jù)線段PQ被直線CD垂直平分,再由垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理來求解t,看t是否存在;
(3)假設(shè)直線x=1上是存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰三角形,此時要分兩種情況討論:①當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時,且P為頂點(diǎn);②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時,且Q為頂點(diǎn);然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的勾股定理求出M點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)∵拋物線過C(0,-8),
∴c=-8,即y=ax2+bx-8,
由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(14,0)及對稱軸為x=4可得,
解得:,
∴該拋物線的解析式為y=x2-x-8.
(2)

存在直線CD垂直平分PQ.
由函數(shù)解析式為y=x2-x-8,可求出點(diǎn)A坐標(biāo)為(-6,0),
在Rt△AOC中,AC===10=AD,
故可得OD=AD-OA=4,點(diǎn)D在函數(shù)的對稱軸上,
∵線CD垂直平分PQ,
∴∠PDC=∠QDC,PD=DQ,
由AD=AC可得,∠PDC=∠ACD,
∴∠QDC=∠ACD,
∴DQ∥AC,
又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD,
∴點(diǎn)D是AB中點(diǎn),
∴DQ為△ABC的中位線,
∴DQ=AC=5,
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5,
∴t=5÷1=5(秒),
∴存在t=5(秒)時,線段PQ被直線CD垂直平分.
在Rt△BOC中,BC===2
而DQ為△ABC的中位線,Q是BC中點(diǎn),
∴CQ=,
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒單位長度;
(3)存在,過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H,則QH=OC=4,PH=OP+OH=1+7=8,

在Rt△PQH中,PQ===4,
①當(dāng)MP=MQ,即M為頂點(diǎn),則此時CD與PQ的交點(diǎn)即是M點(diǎn)(上面已經(jīng)證明CD垂直平分PQ),
設(shè)直線CD的直線方程為:y=kx+b(k≠0),
因?yàn)辄c(diǎn)C(0,-8),點(diǎn)D(4,0),
所以可得直線CD的解析式為:y=2x-8,
當(dāng)x=1時,y=-6,
∴M1(1,-6);
②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時,且P為頂點(diǎn).
設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M(1,y),因?yàn)辄c(diǎn)P坐標(biāo)為(-1,0),
從而可得PM2=22+y2,
又PQ2=80,
則22+y2=80,
即y=±
∴M2(1,2),M3(1,-2);
③當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時,且Q為頂點(diǎn),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(7,-4),
設(shè)直線x=1存在點(diǎn)M(1,y),
則QM2=62+(y+4)2=80,
解得:y=2-4或-2-4;
∴M4(1,-4+2),M5(1,-4-2);
綜上所述:存在這樣的五點(diǎn):
M1(1,-6),M2(1,2),M3(1,-2)M4(1,-4+2),M5(1,-4-2).
點(diǎn)評:此題是一道綜合題,難度較大,主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,還考查等腰三角形的性質(zhì),同時還讓學(xué)生探究存在性問題,對待問題要思考全面,學(xué)會分類討論的思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三點(diǎn),且精英家教網(wǎng)與x軸的另一個交點(diǎn)為E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用配方法求拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸;
(3)求四邊形ABDE的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y=ax2和直線y=kx的交點(diǎn)是P(-1,2),則a=
 
,k=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2、已知拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),那么該拋物線有( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點(diǎn)P在x軸上,與y軸交于點(diǎn)Q,過坐標(biāo)原點(diǎn)O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點(diǎn)A(1,0),頂點(diǎn)為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點(diǎn)B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點(diǎn)B,且于該拋物線交于另一點(diǎn)C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時y1的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案