Question

已知在平面直角坐標系中，過點P（0，2）任意作一條與拋物線y=ax²（a＞0）交于兩點的直線，設(shè)交點分別為A，B，若∠AOB=90°．
（1）判斷A，B兩點縱坐標的乘積是否為一個確定的值，并說明理由；
（2）確定拋物線y=ax²（a＞0）的解析式．

Answer 1

解：（1）A，B兩點縱坐標的乘積為一個確定的值，理由如下：
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+2．
由，得ax²-kx-2=0 ③．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，
則x₁，x₂是方程③的兩個實數(shù)根．
所以x₁+x₂=，x₁•x₂=-，
所以y₁•y₂=a•a=a²•（x₁•x₂）²=a²•（-）²=4；
所以A，B兩點縱坐標的乘積為常數(shù)4，是一個確定的值；

（2）作AM⊥x軸于點M，BN⊥y軸于點N．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠AOM=∠OBN，
∴Rt△AOM∽Rt△OBN，
∴=，
∴=，即-x₁•x₂=y₁•y₂，
∴-（-）=4，解得a=．
所以拋物線的解析式為y=x²．
分析：（1）設(shè)過點P（0，2）的直線AB的解析式為y=kx+2，由，得ax²-kx-2=0③，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知x₁，x₂是方程③的兩個實數(shù)根，且x₁+x₂=，x₁•x₂=-，進而求出y₁•y₂=4，從而說明A，B兩點縱坐標的乘積是一個確定的值；
（2）作AM⊥x軸于點M，BN⊥y軸于點N，先由∠AOB=90°，根據(jù)平角的定義得出∠AOM+∠BON=90°，由同角的余角相等得出∠AOM=∠OBN，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似，證明Rt△AOM∽Rt△OBN，得到=，將A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點的坐標代入，得出-x₁•x₂=y₁•y₂，即-（-）=4，解方程求出a=，從而得到拋物線的解析式．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，綜合性較強，有一定難度．