(2008•貴港)已知:如圖,在△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:AD=BD;
(2)求證:DF是⊙O的切線;
(3)若⊙O的半徑為3,sin∠F=,求DE的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)連接CD,由圓周角定理易得CD⊥AB,又有AC=BC,故AD=BD.
(2)連接OD,根據(jù)三角形中角的互余關(guān)系可得∠ODF=90°,故DF是⊙O的切線.
(3)根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得sin∠F=,進(jìn)而可得CF=5-3=2,再根據(jù)比例的關(guān)系,代入數(shù)據(jù)可得答案.
解答:(1)證明:如圖,連接CD,(1分)
∵BC是直徑,
∴∠BDC=90°,
即CD⊥AB.(2分)
∵AC=BC,
∴AD=BD.(3分)

(2)證明:連接OD,(4分)
∵∠A=∠B,∠AED=∠BDC=90°,
∴∠ADE=∠DCO.
∵OC=OD,
∴∠DCO=∠CDO.
∴∠CDO=∠ADE.
由(1)得∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠CDO+∠CDE=90°.(5分)
即∠ODF=90°.
∴DF是⊙O的切線.(6分)

(3)解:在Rt△DOF中,
∵sin∠F=,
∴OF=5.(7分)
∵OC=3,
∴CF=5-3=2.
由(2)得∠DEA=∠ODF=90°,
∴OD∥AC.
∴△CEF∽△ODF.(9分)
.(10分)

∴DE=.(11分)
點(diǎn)評(píng):本題考查切線的判定,線段等量關(guān)系的證明及線段長(zhǎng)度的求法,要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法,并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題.
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(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線與y軸的交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)并求出四邊形ABDC的面積;
(3)是否存在直線y=kx(k>0)與線段BD相交且把四邊形ABDC的面積分為相等的兩部分?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
[注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()].

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(3)是否存在直線y=kx(k>0)與線段BD相交且把四邊形ABDC的面積分為相等的兩部分?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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