Question

如圖，將一三角板放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于Q．

探究：設(shè)A、P兩點間的距離為x．

(1)當點Q在邊CD上時，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的猜想；

(2)當點Q在邊CD上時，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍；

(3)當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置．并求出相應(yīng)的x值，如果不可能，試說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)PQ＝PB　1分 　　過P點作MN∥BC分別交AB、DC于點M、N 　　在正方形ABCD中，AC為對角線 　　∴AM＝PM 　　又∵AB＝MN 　　∴MB＝PN 　　∵∠BPQ＝90° 　　∴∠BPM＋∠NPQ＝90° 　　又∵∠MBP＋∠BPM＝90° 　　∴∠MBP＝∠NPQ 　　∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，　2分 　　∴PB＝PQ 　　(2)∵S四邊形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ 　　∵AP＝x 　　∴AM＝x 　　∴CQ＝CD－2NQ＝1－x 　　又∵S△PBC＝BC·BM＝·1·(1－x)＝－x 　　S△PCQ＝CQ·PN＝(1－x)·(1－x) 　　＝－＋ 　　∴S四邊形PBCQ＝－x＋1．(0≤x≤)　4分 　　(3)△PCQ可能成為等腰三角形． 　�、佼旤cP與點A重合時，點Q與點D重合， 　　PQ＝QC，此時，x＝0．　5分 　�、诋旤cQ在DC的延長線上，且CP＝CQ時，　6分 　　有：QN＝AM＝PM＝，CP＝－x， 　　CN＝＝1－ 　　CQ＝QN－CN＝－(1－) 　�。�x－1 　　∴當－x＝－1時，x＝1　7分