Question

【題目】如圖，已知，在Rt 中，斜邊， ,點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合），PQ平分交邊BC于點(diǎn)Q， 于于N.

（1）當(dāng)AP=CP時(shí)，求；

（2）若 ，求CQ；

（3）探究：AP為何值時(shí)，四邊形PMQN與的面積相等？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）時(shí)，四邊形PMQN與的面積相等

【解析】分析：（1）由PQ為平分線(xiàn)，AP=CP,可得:PQ∥AC,再由AC⊥BC,PQ⊥BC，可得∠PCQ=∠PBQ即PC=PB，即可解出.(2)由△ABC的面積可得出PC的長(zhǎng)，再由勾股定理列方程求出PB的長(zhǎng)，MQ//PC推出 △BMQ∽△BPC，根據(jù)相似三角形性質(zhì)解出結(jié)果；（3）（3）根據(jù)四邊形PMQN和三角形△BPQ的面積相等得到QM是BP的垂直平分線(xiàn)，再由△CPQ∽△CBP即可作答.

本題解析：（1）在Rt 中，斜邊， ，

, .

,

又∵PQ是∠BPC的平分線(xiàn),

∴

又∵,

為中點(diǎn)，

（2），

得： ,

設(shè)由勾股定理可列方程： ,

解得：

又 ,

,

（3）由角平分線(xiàn)性質(zhì)易得， ,

即.∴QM是BP的垂直平分線(xiàn),

∴∠QPB=∠PBQ.∵∠QPB=∠CPQ∴∠PBQ=∠CPQ.

又∵∠PCQ=∠BCP,∴.

,

,得

再由式得，

,