如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），且直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點(diǎn)，PQ：QR=1：3，求這個(gè)二次函數(shù)解析式．

解：∵圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），
∴所以設(shè)y=a（x-2）2+4      ①，
P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，4），設(shè)Q、R點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1）和（x2，y2），
則y1=x1+4，y2=x2+4，
∴，
，
∵PQ：QR=1：3且P在QR之處，
∴PQ：PR=PQ：（PQ+QR）=1：4，即：=1：4，
∴|x2|=4|x1|②，
又x1，x2是拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴a（x-2）2+4=x+4，即ax2-4（4a+1）x+4a=0，
∴，
由韋達(dá)定理，得，
由③得，x1、x2同號(hào)，再由②得      x2=4x1，
∴x1=±1，x2=±4，從④得a=1或，
∴y=x2-4x+8或，
答：這個(gè)二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x2-4x+8或．
分析：根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），利用頂點(diǎn)法設(shè)該二次函數(shù)解析式為y=a（x-2）2+4．根據(jù)直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點(diǎn)，則可確定P點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)Q、R點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1）和（x2，y2）．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式與PQ：QR=1：3求得|x2|與|x1|的比值．直線y=x+4與拋物線相交于Q、R兩點(diǎn)列出方程a（x-2）2+4=x+4，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，求出x1、x2、a的值．因此拋物線即可確定．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和相似三角形的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．
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已知二次函數(shù)y=x2+ax+a-2
（1）證明：不論a取何值，拋物線y=x2+ax+a-2的頂點(diǎn)Q總在x軸的下方；
（2）設(shè)拋物線y=x2+ax+a-2與y軸交于點(diǎn)C，如果過點(diǎn)C且平行于x軸的直線與該拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，問：△QCD能否是等邊三角形？若能，請(qǐng)求出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式；若不能，請(qǐng)說明理由．

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（2012•白下區(qū)二模）已知二次函數(shù)y=ax2-ax（a是常數(shù)，且a≠0）圖象的頂點(diǎn)是A，二次函數(shù)y=x2-2x+1圖象的頂點(diǎn)是B．
（1）判斷點(diǎn)B是否在函數(shù)y=ax2-ax的圖象上，為什么？
（2）如果二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，求a的值．

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（1）判斷點(diǎn)B是否在函數(shù)y=ax2-ax的圖象上，為什么？
（2）如果二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，求a的值．

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（1）判斷點(diǎn)B是否在函數(shù)y=ax2-ax的圖象上，為什么？
（2）如果二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，求a的值．

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