Question

閱讀材料，解答問題．
已知：銳角△ABC，如圖，求作：正方形DEFG，使D、E落在BC邊上，F(xiàn)、G分別落在AC、AB邊上．
作法：（1）畫一個有三個頂點落在△ABC兩邊上的正方形D₁、E₁、F₁、G₁（如圖所示）；
（2）連接BF，并延長交AC于點F；
（3）過點F作EF⊥BC于點E；
（4）過F作FG∥BC，交AB于點G；
（5）過點G作GD⊥BC于點D；則四邊形DEFG即為所求作的正方形．
問題：（1）說明上述所求作四邊形DEFG為正方形的理由．
（2）在△ABC中，如果BC=120，BC邊上的高為80，求上述正方形DEFG的邊長．
（3）若把（2）中的正方形DEFG改為矩形DEFG，且GF=DG，其他條件不變，此時，GF是多少？

Answer 1

解：（1）證明：∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴∠FED=∠EDG=90°，
∵FG∥BC，
∴∠EFG=180°-∠FED=90°，
∴四邊形DEFG是矩形，
∵四邊形D₁E₁F₁G₁是正方形，
∴E₁F₁=F₁G₁，F(xiàn)₁G₁∥BC，
∴，
∴FG=EF，
∴四邊形DEFG為正方形；

（2）過點A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴，
設(shè)正方形DEFG的邊長為x，
則AM=80，AN=80-x，
即，
解得：x=48，
∴正方形DEFG的邊長為48；

（3）過點A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四邊形DEFG為矩形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴，
∵GF=DG，
設(shè)GF=x，則DG=2x，AM=80，AN=AM=MN=AM-DG=80-2x，
即，
解得：x=30，
∴GF=30．
分析：（1）由EF⊥BC，GD⊥BC，F(xiàn)G∥BC，易得四邊形DEFG是矩形，然后由四邊形D₁E₁F₁G₁是正方形，可得，則可得FG=EF，即可證得四邊形DEFG為正方形；
（2）過點A作AM⊥BC于M，交FG于N，由四邊形DEFG為正方形，可得△AGF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，設(shè)正方形DEFG的邊長為x，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（3）過點A作AM⊥BC于M，交FG于N，由四邊形DEFG為矩形，可得△AGF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，設(shè)GF=x，則DG=2x，即可得方程，解此方程即可求得答案．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題時注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．