Question

如圖，△OBC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)C在x軸正半軸上，AB⊥y軸于點(diǎn)A，OH⊥BC于點(diǎn)H．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿線段HO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P和Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求OH的長(zhǎng)；
（2）設(shè)△OPQ的面積為S（平方單位）．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，最大值是多少？
（3）當(dāng)△OPQ與△OCH相似時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)，△OBC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，得出∠OHC=90°，CH=

1

2

BC=2，再根據(jù)勾股定理即可求出OH的長(zhǎng)；
（2）首先表示出線段PO，作PD⊥y軸于點(diǎn)D，利用銳角三角函數(shù)表示出線段PD的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積計(jì)算方法得到有關(guān)S于t的二次函數(shù)關(guān)系式，然后求最值即可；
（3）利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等分兩種情況討論即可得到有關(guān)t的方程求得t值即可．

解答：解：（1）∵△OBC是等邊三角形，OH⊥BC，
∴∠OHC=90°，CH=

1

2

BC=2，
在Rt△OHC中，
OH=

42-22

=2

3

；

（2）由題意OQ=PH=t，
OP=OH-PH=2

3

-t，∠POD=90°-30°=60°，
作PD⊥y軸于點(diǎn)D，
則PD=OP•sin60°=（2

3

-t）×

3

2

=3-

3

2

t，
∴S=

1

2

OQ•PD=

1

2

•t•（3-

3

2

t）=-

3

4

t²+

3

2

t  （0≤t≤2

3

），
S=-

3

4

（t-

3

）²+

3 3

4

，
∴當(dāng)t=

3

時(shí)，△OPQ的面積最大，最大值是

3 3

4

；

（3）∵∠POQ=∠OCH=60°，
∴當(dāng)

OQ

CH

=

OP

OC

或

OQ

OC

=

OP

CH

時(shí)，△OPQ與△OCH相似，
得：

t

2

=

2 3 -t

4

或

t

4

=

2 3 -t

2

，
解得t=

2

3

3

或t=

4

3

3

，
∴t=

2

3

3

或t=

4

3

3

時(shí)，△OPQ與△OAB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值，點(diǎn)的坐標(biāo)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)根據(jù)三角函數(shù)值求解是關(guān)鍵，靈活運(yùn)用拋物線的頂點(diǎn)式是難點(diǎn)．