Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延長線上的一點，線段BD的垂直平分線EG交AB于點E，交BD于點G．
（1）當∠B=30°時，AE和EF有什么關系？請說明理由；
（2）當點D在BC延長線上（CD＜BC）運動時，點E是否在線段AF的垂直平分線上？

Answer 1

【答案】
（1）解：AE=EF，

理由是：∵線段BD的垂直平分線EG交AB于點E，交BD于點G，

∴DE=BE，

∵∠B=30°，

∴∠D=∠B=30°，

∴∠DEA=∠D+∠B=60°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°，

∴∠A=∠DEA=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE=EF；

（2）解：點E是在線段AF的垂直平分線，

理由是：∵∠B=∠D，∠ACB=90°=∠FCD，

∴∠A=∠DFC，

∵∠DFC=∠AFE，

∴∠A=∠AFE，

∴EF=AE，

∴點E是在線段AF的垂直平分線．

【解析】（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出DE=BE，求出∠D=∠B=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求出∠A=∠DEA=60°，即可得出答案；（2）求出∠A=∠AFE，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出即可．
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．