Question

（2013•常德）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME．
（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MB∥CF；
（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；
（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME．

Answer 1

分析：（1）證法一：如答圖1a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，證明BM為△ADF的中位線即可；
證法二：如答圖1b所示，延長(zhǎng)BM交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠EBM=45°，從而得到∠EBM=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MB∥CF即可，
（2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；
解法二：先求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=

1

2

DF，ME=

1

2

AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME；
證法二：如答圖3b所示，延長(zhǎng)BM交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出AB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，BM=DM，再根據(jù)“邊角邊”證明△BCE和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．

解答：（1）證法一：

如答圖1a，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，
∴BM為△ADF的中位線，
∴BM∥CF．
證法二：

如答圖1b，延長(zhǎng)BM交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，
∴AM=MF，
∵在△ABM和△FDM中，

∠BAM=∠DFM AM=FM ∠AMB=∠FMD

，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE-BC，DE=EF-DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EBM=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EBM=∠ECF，
∴MB∥CF；

（2）解法一：
如答圖2a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=CD=

2

a，
∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，
∴BM=

1

2

DF．

分別延長(zhǎng)FE與CA交于點(diǎn)G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=2

2

a，
∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，
∴ME=

1

2

AG．
∵CG=CF=2

2

a，CA=CD=

2

a，
∴AG=DF=

2

a，
∴BM=ME=

1

2

×

2

a=

2

2

a．
解法二：
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE-CB=2a-a=a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=ME=

2

2

BE=

2

2

a；

（3）證法一：
如答圖3a，延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴BM=

1

2

DF．

延長(zhǎng)FE與CB交于點(diǎn)G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴ME=

1

2

AG．
在△ACG與△DCF中，

AC=CD ∠ACG=∠DCF=45° CG=CF

，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴BM=ME．
證法二：

如答圖3b，延長(zhǎng)BM交CF于D，連接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BAM=∠DFM，
∴M是AF的中點(diǎn)，
∴AM=FM，
在△ABM和△FDM中，

∠BAM=∠DFM AM=FM ∠AMB=∠FMD

，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，BM=DM，
∴AB=BC=DF，
∵在△BCE和△DFE中，

BC=DF ∠BCE=∠DFE=45° CE=FE

，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵BM=DM，
∴BM=ME=

1

2

BD，
故BM=ME．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．