Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交GD、CA于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接DF．給出以下四個結(jié)論：①；②點F是GE的中點；③AF＝AB；④S_△ABC＝S_△BDF，其中正確的結(jié)論序號是________．

Answer 1

答案：①③
解析：

分析：首先根據(jù)題意易證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例與BA＝BC，繼而證得正確；由點D是AB的中點，易證得BC＝2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE＝∠BCD，即可得AG＝AB，繼而可得FG＝BF；即可得AF＝AC，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AC＝AB，即可求得AF＝AB；則可得S△ABC＝6S△BDF． 　　解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， 　　∴AB⊥BC，AG⊥AB， 　　∴AG∥BC， 　　∴△AFG∽△CFB， 　　∴， 　　∵BA＝BC， 　　∴， 　　故①正確； 　　∵∠ABC＝90°，BG⊥CD， 　　∴∠DBE＋∠BDE＝∠BDE＋∠BCD＝90°， 　　∴∠DBE＝∠BCD， 　　∵AB＝CB，點D是AB的中點， 　　∴BD＝AB＝CB， 　　∵tan∠BCD＝＝， 　　∴在Rt△ABG中，tan∠DBE＝＝， 　　∵， 　　∴FG＝FB， 　　故②錯誤； 　　∵△AFG∽△CFB， 　　∴AF：CF＝AG：BC＝1：2， 　　∴AF＝AC， 　　∵AC＝AB， 　　∴AF＝AB， 　　故③正確； 　　∵BD＝AB，AF＝AC， 　　∴S△ABC＝6S△BDF， 　　故④錯誤． 　　點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應用．

提示：

相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．