Question

已知：如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點，連接DE．AF∥BC，且AF=BC，連接DF．
（1）求證：四邊形AFDE是平行四邊形；
（2）如果AB=AC，∠BAC=60°，求證：AD⊥EF．

Answer 1

證明：（1）∵D、E分別是邊AB、AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
即得 DE∥BC，． …
∵AF∥BC，，
∴DE∥AF，DE=AF． …
∴四邊形AFDE是平行四邊形． …

（2）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，即得：AC=BC． …
于是，由點E是AC的中點，得 ． …
又∵四邊形AFDE是平行四邊形，
∴四邊形AFDE是菱形． …
∴AD⊥EF． …
分析：（1）通過證明邊DE平行且等于對邊AF，即可證明四邊形AFDE是平行四邊形；
（2）由題意得△ABC是等邊三角形，故有AC=BC，又點E是AC的中點，可得出DE=AE，四邊形AFDE是菱形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分得證．
點評：本題考查平行四邊形和菱形的判定與性質，難度適中，解題關鍵是掌握平行四邊形和菱形的判定定理，且菱形的對角線互相垂直平分．