Question

（2012•茂名）如圖所示，拋物線y=ax²+

3

2

x+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和A（4，2），與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M、N同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M以2個(gè)單位/秒的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以1個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①若線段MN與OA交于點(diǎn)G，試判斷MN與OA的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②若線段MN與拋物線相交于點(diǎn)P，探索：是否存在某一時(shí)刻t，使得以O(shè)、P、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），O點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），代入求出二次函數(shù)解析式即可，進(jìn)而利用y=0，求出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，則OB=4，AB=2，進(jìn)而得出Rt△MON∽R(shí)t△OBA，即可求出MN⊥OA；
②依題意可得：當(dāng)點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，四邊形APOC為等腰梯形，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，及M（0，2t），N（t，0）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+2t，將點(diǎn)N、P的坐標(biāo)代入得求出t的值即可．

解答：解：（1）依題意，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），O點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
代入解析式得

c=0 16a+ 3 2 ×4+c=2

，
解得：

c=0 a=- 1 4

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x；
令y=0，則有0=-

1

4

x²+

3

2

x，
解得x₁=0，x₂=6，
故點(diǎn)C坐標(biāo)為（6，0）；

（2）①M(fèi)N⊥OA，
理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，則OB=4，AB=2
由已知可得：

OM

ON

=

OB

AB

=

2

1

，
∴Rt△MON∽R(shí)t△OBA，
∴∠AOB=∠NMO，
∵∠NMO+∠MNO=90°，∴∠AOB+∠MNO=90°，
∴∠OGN=90°，∴MN⊥OA，
②存在
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題意可得：當(dāng)點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，四邊形APOC為等腰梯形．
則點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2），及M（0，2t），N（t，0）
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+2t
將點(diǎn)N、P的坐標(biāo)代入得

kt+2t=0 2k+2t=2

，
解得：

t1=0 k1=0

（不合題意舍去），

t2=3 k2=-2

，
所以，當(dāng)t=3秒時(shí)，四邊形OPAC是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及等腰梯形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定等知識(shí)，得出P點(diǎn)坐標(biāo)表示出M，N坐標(biāo)進(jìn)而求出直線MN的解析式是解題關(guān)鍵．