Question

（2005•長(zhǎng)沙）如圖，AB是⊙O的直徑，P是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，⊙O的半徑為3，∠PCB=30度．
（1）求∠CBA的度數(shù)；（2）求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)弦切角定理得到∠A=∠PCB=30°，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求得∠ACB=90°，從而求得∠CBA的度數(shù)；
（2）能夠根據(jù)角的度數(shù)發(fā)現(xiàn)等腰三角形ACP，根據(jù)30°的直角三角形由AB的長(zhǎng)求得BC的長(zhǎng)，從而得到PB的長(zhǎng)，最后求得PA的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵PC切⊙O于點(diǎn)C，
∴∠BAC=∠PCB=30°．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠CBA=60°．

（2）∵∠P=∠CBA-∠PCB=60°-30°=∠PCB，
∴PB=BC，
又∵BC=AB=×6=3，
∴PA=PB+AB=BC+AB=9．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用弦切角定理、圓周角定理的推論以及三角形的外角的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)30°的直角三角形和等腰三角形．