Question

三項(xiàng)式x²-x-2n能分解為兩個(gè)整系數(shù)一次因式的乘積
（1）若1≤n≤30，且n是整數(shù)，則這樣的n有多少個(gè)？
（2）當(dāng)n≤2005時(shí)，求最大整數(shù)n

Answer 1

【答案】分析：（1）利用公式法求出x²-x-2n=0的根，將n從1至30代入開平方驗(yàn)證，舍去不合題意得，得到最終n的取值及個(gè)數(shù)．
（2）觀察數(shù)列1，3，6，10，15，21，28，尋找規(guī)律，將基本規(guī)律的代數(shù)式代入求值．
解答：解：
（1）x²-x-2n=（3分）
則應(yīng)有1+8n=9，25，49，81，121，169，225，289（7分）
相應(yīng)解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去）
故當(dāng)1≤n≤30時(shí)，滿足條件的整數(shù)n有7個(gè)（10分）
（2）觀察數(shù)列1，3，6，10，發(fā)現(xiàn)
1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4
故n=1+2+3+…+k≤2005
∴≤2005
驗(yàn)證得當(dāng)k=62時(shí)，n取最大值為1953（20分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查因式分解的應(yīng)用．解決（1）主要是通過公式法分解出因式，再將符合條件的n代入逐個(gè)驗(yàn)證；（2）關(guān)鍵是觀察數(shù)列找到規(guī)律．