Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C（，0），點(diǎn)D（0，1），CD的中垂線交CD于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CO方向以每秒個單位的速度運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)沿OD方向以每秒1個單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時，點(diǎn)P，Q同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為秒．
（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時，△POQ與△COD相似？
（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時，記四邊形PBEQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（4）在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動過程中，將△POQ繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P′，點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)Q′，當(dāng)線段P′Q′與線段BE有公共點(diǎn)時，拋物線y=ax²+1經(jīng)過P′Q′的中點(diǎn)，此時的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)M．由已知，直接寫出：①a的取值范圍為______；②點(diǎn)M移動的平均速度是______．

Answer 1

解：（1）由題意得：OD=1，OC=，由勾股定理得：DC=2．
∵BE是DC的中垂線，
∴DE=1，∠DEB=90°．
在△DEB與△DOC中，
，
∴△DEB≌△DOC（ASA），
∴BD=DC=2，
∴BO=1，
∴B（0，-1）；

（2）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上時，
由已知得，CP=，OP=CO-CP=，OQ=t．
由題意得：，
即：，
解得；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時，
由題意得：，
即：，
解得．
綜上所述：當(dāng)，△POQ與△COD相似；

（3）S=S_△PQB+S_△EQB==，
即S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：S=，
∵點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上，
∴t＞，
又∵當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時，點(diǎn)P，Q同時停止運(yùn)動，而點(diǎn)Q運(yùn)動時間為1秒，
∴t≤1，
∴自變量t的取值范圍為：＜t≤1；

（4）①當(dāng)P'Q'與BE有公共點(diǎn)時，初始位置點(diǎn)P′與點(diǎn)A重合，A為BE與x軸的交點(diǎn)．
由已知得，，
∴，
∴，
終止位置點(diǎn)P′與點(diǎn)C重合，點(diǎn)Q′與點(diǎn)B重合，這時t=1，
∴．
設(shè)P'Q'的中點(diǎn)為F，當(dāng)時，．
把代入y=ax²+1，得：a=-16．
當(dāng)t=1時，，
把代入y=ax²+1，得：a=-2，
∴a的取值范圍為：-16≤a≤-2；
②初始位置的拋物線為y=-16x²+1，此時，
終止位置的拋物線為y=-2x²+1，此時，
∴，
∵移動的時間為秒，
∴點(diǎn)M移動的平均速度為每秒個單位．
故答案為-16≤a≤-2；每秒個單位．
分析：（1）先在直角△ODC中，由勾股定理求出DC=2，根據(jù)BE是DC的中垂線，得出DE=1，∠DEB=90°，再利用ASA證明△DEB≌△DOC，由全等三角形對應(yīng)邊相等得出BD=DC=2，則BO=1，進(jìn)而求出B的坐標(biāo)；
（2）由于點(diǎn)Q在線段OD上運(yùn)動的時間為1秒，而點(diǎn)P用秒從C點(diǎn)運(yùn)動到O點(diǎn)，則余下的秒從O點(diǎn)運(yùn)動到C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)處，所以根據(jù)P點(diǎn)的不同位置分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上時，由于∠POQ=∠COD=90°，所以當(dāng)△POQ與△COD相似時，又有兩種情況，，用含t的代數(shù)式分別表示OP，OQ，列出關(guān)于t的比例式，解出即可；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時，同①可求；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時，根據(jù)四邊形PBEQ的面積為S=S_△PQB+S_△EQB，用含t的代數(shù)式代入即可求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上及當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時，點(diǎn)P，Q同時停止運(yùn)動即可求出自變量的取值范圍；
（4）①當(dāng)P'Q'與BE有公共點(diǎn)時，初始位置點(diǎn)P′與點(diǎn)A重合，則OP′=OP=OA，得出方程，求出，終止位置點(diǎn)P′與點(diǎn)C重合，點(diǎn)Q′與點(diǎn)B重合，這時t=1，所以．
再設(shè)P'Q'的中點(diǎn)為F，求出時，，把代入y=ax²+1，求得a=-16．當(dāng)t=1時，同理求得a=-2，從而得出a的取值范圍為：-16≤a≤-2；
②根據(jù)初始位置的拋物線為y=-16x²+1，求出，根據(jù)終止位置的拋物線為y=-2x²+1，求出，則，又移動的時間為秒，根據(jù)速度=路程÷時間即可求出點(diǎn)M移動的平均速度為每秒個單位．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到勾股定理，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，四邊形的面積，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．