Question

（2013•襄陽）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點A的坐標為（-1，0），對稱軸為直線x=-2．
（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）點D是拋物線與y軸的交點，點C是拋物線上的另一點．已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9．求此拋物線的解析式，并指出頂點E的坐標；
（3）點P是（2）中拋物線對稱軸上一動點，且以1個單位/秒的速度從此拋物線的頂點E向上運動．設(shè)點P運動的時間為t秒．
①當t為

2

秒時，△PAD的周長最小？當t為

4或4-

6

或4+

6

秒時，△PAD是以AD為腰的等腰三角形？（結(jié)果保留根號）
②點P在運動過程中，是否存在一點P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的軸對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）先根據(jù)梯形ABCD的面積為9，可求c的值，再運用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，轉(zhuǎn)化為頂點式可求頂點E的坐標；
（3）①根據(jù)軸對稱-最短路線問題的求法可得△PAD的周長最小時t的值；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可分三種情況求得△PAD是以AD為腰的等腰三角形時t的值；
②先證明△APN∽△PDM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PN的值，從而得到點P的坐標．

解答：解：（1）由拋物線的軸對稱性及A（-1，0），可得B（-3，0）．

（2）設(shè)拋物線的對稱軸交CD于點M，交AB于點N，
由題意可知AB∥CD，由拋物線的軸對稱性可得CD=2DM．
∵MN∥y軸，AB∥CD，
∴四邊形ODMN是平行四邊形
∵∠DON=90°
∴平行四邊形ODMN是矩形．
∴DM=ON=2，
∴CD=2×2=4．
∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵梯形ABCD的面積=

1

2

（AB+CD）•OD=9，
∴OD=3，即c=3．
∴把A（-1，0），B（-3，0）代入y=ax²+bx+3得

a-b+3=0 9a-3b+3=0

，
解得

a=1 b=4

．
∴y=x²+4x+3．
將y=x²+4x+3化為頂點式為y=（x+2）²-1，得E（-2，-1）．

（3）①當t為2秒時，△PAD的周長最小；當t為4或4-

6

或4+

6

秒時，△PAD是以AD為腰的等腰三角形．
故答案為：2；4或4-

6

或4+

6

．
②存在．
設(shè)CD交拋物線對稱軸于M，AB交拋物線對稱軸于N，
∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，
∴∠DPM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，
∴∠PDM=∠APN，
∵∠PMD=∠ANP，
∴△APN∽△PDM，
∴

AN

PM

=

PN

DM

，
∴

1

3-PN

=

PN

2

，
∴PN²-3PN+2=0，
∴PN=1或PN=2．
∴P（-2，1）或（-2，2）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點為：拋物線的軸對稱性，梯形的面積計算，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線的頂點式，軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，有一定的難度．