Question

某軟件商店經(jīng)銷一種銷售成本為每盤40元的益智游戲軟件，根據(jù)市場(chǎng)分析，若按每盤50元銷售，一個(gè)月能售出500盤；銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10盤．
（1）設(shè)銷售單價(jià)為每盤x（x≥50）元，月銷售利潤(rùn)為y元，求y與x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為每盤多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
（3）當(dāng)銷售單價(jià)定為每盤55元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤(rùn)；
（4）商品想在月銷售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少？
（5）要使銷售利潤(rùn)高于8000元，漲價(jià)幅度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

解：（1）依題意，得y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x²+1400x-40000，
（2）由（1）得y=-10x²+1400x-40000=-10（x-70）²+9000，
∵-10＜0，∴當(dāng)x=70時(shí)，y_最大=9000，
即當(dāng)銷售單價(jià)定為每盤70元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是9000元；
（3）當(dāng)x=55時(shí)，[500-10（x-50）]=450，y=-10（55-70）²+9000=6750，
即當(dāng)銷售單價(jià)定為每盤55元時(shí)，月銷售量為450盤，月銷售利潤(rùn)為6750元；
（4）把y=8000代入y=-10（x-70）²+9000中，
得-10（x-70）²+9000=8000，解得x₁=80，x₂=60，
銷售成本為40×[500-10（x-50）]，
當(dāng)x=80時(shí)，40×[500-10（x-50）]=8000＜10000，
當(dāng)x=60時(shí)，40×[500-10（x-50）]=16000＞10000，
所以，此時(shí)銷售單價(jià)為每盤80元；
（5）由（4）可知，當(dāng)y=8000時(shí)，x₁=80，x₂=60，
二次函數(shù)圖象開口向下，要使銷售利潤(rùn)高于8000元，則60＜x＜80，
即10＜x-50＜30，
所以，漲價(jià)幅度應(yīng)大于10元，且小于30元．
分析：（1）設(shè)銷售單價(jià)為每盤x元，則每盤利潤(rùn)為（x-40）元，月銷售量為[500-10（x-50）]元，根據(jù)月銷售利潤(rùn)為y=
每盤利潤(rùn)×月銷售量，列出y與x的關(guān)系式；
（2）將（2）的函數(shù)關(guān)系式寫成頂點(diǎn)式，可求月銷售最大利潤(rùn)及此時(shí)的銷售單價(jià)；
（3）把x=55代入式子[500-10（x-50）]，y=（x-40）[500-10（x-50）]中，可求月銷售量和月銷售利潤(rùn)；
（4）將y=8000代入y=-10（x-70）²+9000中，求x的值，再求銷售成本；
（5）根據(jù)（4）中所求x的兩個(gè)值，求漲價(jià)幅度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．關(guān)鍵是由月銷售利潤(rùn)為y=每盤利潤(rùn)×月銷售量，列出y與x的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．