Question

已知外心G，內(nèi)心I，且AB+AC=2BC，求證：GI⊥AI．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接CI，CD，延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D，交BC于E，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得到

AC

CE

=

AB

BE

=

AI

IE

，

AC+AB

BE

=

AB

BE

，再由相似三角形的判定與性質(zhì)可得AD=2CD，由三角形外心的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：證明：如圖所示，連接CI，CD，延長(zhǎng)AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，交BC于E，
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴

AC

CE

=

AB

BE

=

AI

IE

，

AC+AB

BC

=

AB

BE

，
∵AB+AC=2BC，
∴AB=2BE，
∵∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC，
∴AD=2CD，
∵由內(nèi)心的性質(zhì)可知DC=DI，
∴AD=2DI，
∵G是△ABC的外心，
∴GI⊥AI．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的內(nèi)心與外心的性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．