Question

如圖，正方形ABCD中，E是CD的中點，EF⊥AE．
求證：（1）△ADE∽△ECF；
（2）BF=3FC；
（3）EF平分∠AFC．

Answer 1

證明：（1）∵∠ADE=∠FCE=90°，又AE⊥EF，
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°，
又∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠AED，
∴△ADE∽△ECF；

（2）∵CE=ED，CD=BC，
由（1）得CF：CE=DE；DA=1：2，∴CF=CE=CD
從而CF：CB=1：4．
∴BF=3CF．

（3）延長FE交AD的延長線于G．
∵∠GDE=∠ECF=90°，∠DEG=∠FEC，又DE=EC，
∴△DEG≌△CEF，
∴∠G=∠EFC，
而EF⊥AE，且EG=EF，
∴AE是FG的垂直平分線，
∴AF=AG，
即∠AFE=∠G=∠EFC，
∴EF平分∠AFC．
分析：（1）利用互余關系證明∠EFC=∠AED，又有∠ADE=∠FCE=90°，可證△ADE∽△ECF；
（2）由（1）的相似得CF：CE=DE：DA=1：2，可得CF=CE=CD，得出結論；
（3）延長FE交AD的延長線于G，根據(jù)EG=EF，EF⊥AE，得AE垂直平分FG，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明結論．
點評：本題考查了相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)．關鍵是利用互余關系證明相似三角形，利用作輔助線構造全等三角形．