Question

如圖，在△ABC中，分別以AB、AC為邊作等邊△ABD與等邊△ACE，連接BE、CD，BE的延長線與CD交于點F，連接AF，有以下四個結(jié)論：
①BE=CD；②FA平分∠EFC；③FE=FD；④FE+FC=FA．
其中正確的結(jié)論有

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：連接AF，在AF上找到點G使得FG=EF，易證△BAE≌△DAC，可得BE=CD，①正確；易證A、E、F、C四點共圓，根據(jù)AE=AC，可得FA平分∠EFC，②正確；易證△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，④正確；

解答：解：連接AF，在AF上找到點G使得FG=EF，

∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△BAE≌△DAC，（SAS）
∴BE=CD，①正確；
∠BEA=∠ACD，
∵∠AEB+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ACF=180°，
∴A、E、F、C四點共圓，
∴∠EFC=120°，
∵AE=AC，
∴∠AFC=∠AFE，即FA平分∠EFC，②正確；
∵FG=EF，∠AFE=60°，
∴△EFG是等邊三角形，
∴EF=EG，
∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，
∴∠AEG=∠CEF，
在△AGE和△CFE中，

AE=AC ∠AEG=∠CEF EG=EF

，
∴△AGE≌△CFE（SAS），
∴AG=CF，
∵AF=AG+FG，
∴AF=CF+EF，④正確；
∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，
CD≠AF，
∴FE=FD，③錯誤，
故答案為 ①②④．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了圓周角原理，本題中求證△BAE≌△DAC和△AGE≌△CFE是解題的關(guān)鍵．