Question

如圖，直線y=x+3交x軸于A點(diǎn)，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)置于原點(diǎn)O，另兩個(gè)頂點(diǎn)M、N恰落在直線y=x+3上，若N點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則tan∠AON的值為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：過(guò)O作OC⊥AB于C，過(guò)N作ND⊥OA于D，設(shè)N的坐標(biāo)是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面積公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根據(jù)sin45°=求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）²+（-x）²=，求出N的坐標(biāo)，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可．
解答：解：
過(guò)O作OC⊥AB于C，過(guò)N作ND⊥OA于D，
∵N在直線y=x+3上，
∴設(shè)N的坐標(biāo)是（x，x+3），
則DN=x+3，OD=-x，
y=x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面積公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°==，
∴ON=，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND²+DO²=ON²，
即（x+3）²+（-x）²=，
解得：x₁=-，x₂=，
∵N在第二象限，
∴x只能是-，
x+3=，
即ND=，OD=，
tan∠AON==．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目比較典型，綜合性比較強(qiáng)．