Question

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=8，如圖在OC邊上取一點(diǎn)D，將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C恰好落在OA邊上，記作E點(diǎn)；
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕DB的長；
（2）在x軸上取兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN=4.5，求使四邊形BDMN的周長最短的點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC為矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=8，
∵△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C恰好落在OA邊E點(diǎn)上，
∴BC=BE=10，DC=DE，
在Rt△ABE中，BE=10，AB=8，
∴AE=6，
∴OE=10-6=4，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；
在Rt△ODE中，設(shè)DE=x，則OD=OC-DC=OC-DE=8-x，
∴x²=4²+（8-x）²，解得x=5，
在Rt△BDE中，
BD==5；

（2）以D、M、N為頂點(diǎn)作平行四邊形DMND′，作出點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)B′，如圖，
∴B′的坐標(biāo)為（10，-8），DD′=MN=4.5，∴D′的坐標(biāo)為（4.5，3），
設(shè)直線D′B′的解析式為y=kx+b，
把B′（10，-8），D′（4.5，3）代入得，10k+b=-8，4.5k+b=3，解得k=-2，b=12，
∴直線D′B′的解析式為y=-2x+12，
令y=0，得-2x+12=0，解得x=6，
∴M（1.5，0）；N（6，0）．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，則OE=10-6=4，即可得到E點(diǎn)坐標(biāo)；在Rt△ODE中，設(shè)DE=x，則OD=OC-DC=OC-DE=8-x，利用勾股定理可計(jì)算出x，再在Rt△BDE中，利用勾股定理計(jì)算出BD；
（2）以D、M、N為頂點(diǎn)作平行四邊形DMND′，作出點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)B′，則易得到B′的坐標(biāo)，D′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線D′B′的解析式，令y=0，得-2x+12=0，確定N點(diǎn)坐標(biāo)，也即可得到M點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理以及待定系數(shù)法．