Question

【題目】在中，，在的外部作等邊三角形，為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；

(2)如圖2，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

①補(bǔ)全圖2；

②若，求證：．

Answer 1

【答案】(1)=20°；(2)①補(bǔ)圖見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）分別求出∠ADF，∠ADB，根據(jù)∠BDF=∠ADF-∠ADB計(jì)算即可；（2）①根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可；②設(shè)∠ACM=∠BCM=，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2，可得∠NAC=∠NCA=，∠DAN=60°+，由△ABN≌△AND（SSS），推出∠ABN=∠AND=30°，∠BAN=∠DAN=60°+，∠BAC=60°+2，在△ABC中，根據(jù)∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，構(gòu)建方程求出，再證明∠MNB=∠MBN即可解決問(wèn)題；

(1)如圖1中，

在等邊三角形中，

，．

∴∠BAD=100°+60°=160°，

∵為的中點(diǎn)，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴ （180°-160°）=10°，

∴．

(2)①補(bǔ)全圖形，如圖所示．

②證明：連接．

∵平分，

∴設(shè)，

∵，

∴．在等邊三角形中，

∵為的中點(diǎn)，

∴，

∴，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．