Question

（2012•濰坊）許多家庭以燃氣作為燒水做飯的燃料，節(jié)約用氣是我們?nèi)粘Ｉ�活中非�，F(xiàn)實的問題．某款燃氣灶旋轉(zhuǎn)位置從0度到90度（如圖），燃氣關(guān)閉時，燃氣灶旋轉(zhuǎn)的位置為0度，旋轉(zhuǎn)角度越大，燃氣流量越大，燃氣開到最大時，旋轉(zhuǎn)角度為90度．為測試燃氣灶旋轉(zhuǎn)在不同位置上的燃氣用量，在相同條件下，選擇燃氣灶旋鈕的5個不同位置上分別燒開一壺水（當(dāng)旋鈕角度太小時，其火力不能夠?qū)⑺疅�開，故選擇旋鈕角度x度的范圍是18≤x≤90），記錄相關(guān)數(shù)據(jù)得到下表：

旋鈕角度（度）	20	50	70	80	90
所用燃氣量（升）	73	67	83	97	115

（1）請你從所學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示所用燃氣量y升與旋鈕角度x度的變化規(guī)律？說明確定是這種函數(shù)而不是其它函數(shù)的理由，并求出它的解析式；
（2）當(dāng)旋鈕角度為多少時，燒開一壺水所用燃氣量最少？最少是多少？
（3）某家庭使用此款燃氣灶，以前習(xí)慣把燃氣開到最大，現(xiàn)采用最節(jié)省燃氣的旋鈕角度，每月平均能節(jié)約燃氣10立方米，求該家庭以前每月的平均燃氣量．

Answer 1

分析：（1）先假設(shè)函數(shù)為一次函數(shù)，任選兩點求出函數(shù)解析式，再將各點代入驗證；再假設(shè)函數(shù)為二次函數(shù)，任選三求出函數(shù)解析式，再將各點代入驗證
（2）將（1）所求二次函數(shù)解析式，化為頂點式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值的問題，即可解答．
（3）由（2）及表格知，采用最節(jié)省燃氣的旋鈕角度40度比把燃氣開到最大時燒開一壺水節(jié)約用氣115-65=50，再設(shè)該家庭以前每月平均用氣量為a立方米，據(jù)此解答即可．

解答：解：（1）若設(shè)y=kx+b（k≠0），
由

73=20k+b 67=50k+b

，
解得

k=- 1 5 b=77

，
所以y=-

1

5

x+77，把x=70代入得y=63≠83，所以不符合；
若設(shè)y=

k

x

（k≠0），由73=

k

20

，解得k=1460，
所以y=

1460

x

，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；
若設(shè)y=ax²+bx+c，
則由

73=400a+20b+c 67=2500a+50b+c 83=4900a+70b+c

，
解得

a= 1 50 b=- 8 5 c=97

，
所以y=

1

50

x²-

8

5

x+97（18≤x≤90），
把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合題意．
所以二次函數(shù)能表示所用燃氣量y升與旋鈕角度x度的變化規(guī)律；

（2）由（1）得：y=

1

50

x²-

8

5

x+97=

1

50

（x-40）²+65，
所以當(dāng)x=40時，y取得最小值65．
即當(dāng)旋鈕角度為40°時，燒開一壺水所用燃氣量最少，最少為65升；

（3）由（2）及表格知，采用最節(jié)省燃氣的旋鈕角度40度比把燃氣開到最大時燒開一壺水節(jié)約用氣115-65=50（升）
設(shè)該家庭以前每月平均用氣量為a立方米，則由題意得：

50

115

a=10，
解得a=23（立方米），
即該家庭以前每月平均用氣量為23立方米．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)求最值等問題，綜合性較強，需要有較高的思維能力，關(guān)鍵是探索出函數(shù)的解析式．