【題目】如圖,平面直角坐標系中,直線1分別交軸、軸于、兩點,點的坐標為,,過點的直線與軸交于點.
(1)求直線的解析式及點的坐標.
(2) 點在軸上從點向點以每秒1個單位長的速度運動(),過點分別作,, 交、于點、,連接,點為的中點.
①判斷四邊形的形狀并證明;
②求出t為何值時線段DG的長最短.
(3)點是軸上的點,在坐標平面內(nèi)是否存在點,使以、、、為項點的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)①矩形;證明見解析②時,DG的長最短(3)存在;,,,,
【解析】
(1)根據(jù)有一個角為30°的直角三角形的性質(zhì),求出OB,再利用待定系數(shù)法即可求解;
(2)①根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形,判斷出四邊形DEBF是矩形;②利用點到直線的距離中垂線短最短即可;
(3)設出點P(0,m)的坐標,先利用平行四邊形的性質(zhì)作出圖形,求出點Q的坐標,再利用菱形的四邊相等求出m即可.
(1)∵,
∴
又根據(jù)題意,
∴,
∴
設解析式為
代入,
得
∴的解析式:
∵在直線上,
∴,
∴:,
∵點C在x軸上,
∴
(2)如圖:
①∵,,OA=1,
∴,(勾股定理),
∴,
∴,
又∵,,
∴四邊形是平行四邊形(兩組對邊分別平行),
∴四邊形為矩形(有一個角是90°的平行四邊形是矩形),
②∵四邊形為矩形
∴(矩形對角線相等),
又因為為中點,
∴,即G為矩形對角線的交點,
要使DG最短,也就是DB最短,
∴只有BD⊥AC時,BD最短,
∴CD=3,
∴
(3)如圖2,在坐標平面內(nèi)是存在點Q,使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形,證明如下:
設,,
∴直線AB的解析式為:,
作a∥BP,則直線a的解析式為:x=1,
作b∥AP,則直線b的解析式為:,
作c∥BA,則直線c的解析式為:,
以、、、為頂點的四邊形為菱形,則為等腰三角形
①以AB為對角線時,有,
∴,
∵四邊形是菱形,
∴,即:,
∴,
∴,
∴;
② 以AB為邊時,
情況1:AP為對角線時,
∵,,
∴或,
∵AB的解析式為:,
AP的解析式為:或者,
∵四邊形APQB是菱形,
∴點Q過點A且PQ∥y軸的直線上,
∴或者,
情況2:以BP為對角線時,
∵
此時,
故存在4點,,,,;
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【題目】一個長為4cm,寬為3cm的長方形木板在桌面上做無滑動的翻滾(順時針方向),木板點A位置的變化為A→Al→A2,其中第二次翻滾被面上一小木塊擋住,使木板與桌面成30°的角,則點A滾到A2位置時共走過的路徑長為( 。
A. B. C. D.
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【題目】請把下列的證明過程補充完整:
已知,如圖,BCE、AFE是直線,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求證:AD∥BE.
證明:∵AB∥CD(已知)
∴∠4=∠______
∵∠3=∠4(已知)
∴∠3=∠______(等量代換)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等式的性質(zhì))
即∠BAF=∠______
∴∠3=∠______(等量代換)
∴AD∥BE______.
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【題目】已知一次函數(shù)的圖象過M(1,3),N(-2,12)兩點.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)試判斷點P(2a,-6a+8)是否在函數(shù)的圖象上,并說明理由.
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【題目】目前我市“校園手機”現(xiàn)象越來越受到社會關注,針對這種現(xiàn)象,重慶一中初三(1)班數(shù)學興趣小組的同學隨機調(diào)查了學校若干名家長對“中學生帶手機”現(xiàn)象的態(tài)度(態(tài)度分為:A.無所謂;B.基本贊成;C.贊成;D.反對),并將調(diào)查結果繪制成頻數(shù)折線統(tǒng)計圖1和扇形統(tǒng)計圖2(不完整).請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了多少名中學生家長;
(2)求出圖2中扇形C所對的圓心角的度數(shù),并將圖1補充完整;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結果,請你估計我校11000名中學生家長中有多少名家長持反對態(tài)度;
(4)在此次調(diào)查活動中,初三(1)班和初三(2)班各有2位家長對中學生帶手機持反對態(tài)度,現(xiàn)從中選2位家長參加學校組織的家;顒樱昧斜矸ɑ虍嫎錉顖D的方法求選出的2人來自不同班級的概率.
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【題目】如圖,是的中線,,交于點,是的中點,連接.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)若四邊形的面積為,請直接寫出圖中所有面積是的三角形.
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【題目】已知,如圖,點C在線段AB上,且AC=6cm,BC=14cm,點M、N分別是AC、BC的中點.
(1)求線段MN的長度;
(2)在(1)中,如果AC=acm,BC=bcm,其它條件不變,你能猜測出MN的長度嗎?請說出你發(fā)現(xiàn)的結論,并說明理由.
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