Question

已知：如圖，在半徑為8的⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長線交⊙O于點(diǎn)E，且EM＞MC．連接DE，DE=2

15

．
（1）求證：

AM

EM

=

MC

MB

；
（2）求EM的長；
（3）求sin∠EOB的值．

Answer 1

分析：（1）連接A、C，E、B點(diǎn)，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出結(jié)論，根據(jù)圓周角定理可推出它們的對應(yīng)角相等，即可得△AMC∽△EMB，進(jìn)而證明

AM

EM

=

MC

MB

；
（2）根據(jù)圓周角定理，結(jié)合勾股定理，可以推出EC的長度，根據(jù)已知條件推出AM、BM的長度，然后結(jié)合（1）的結(jié)論，很容易就可求出EM的長度；
（3）過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，通過作輔助線，解直角三角形，結(jié)合已知條件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各邊的長度，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，便可求得sin∠EOB的值．

解答：（1）證明：連接AC、EB，
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACE，
∴△AMC∽△EMB，
∴

AM

EM

=

MC

MB

；

（2）解：∵DC是⊙O的直徑，
∴∠DEC=90°，
∴DE²+EC²=DC²，
∵DE=2

15

，CD=16，且EC為正數(shù)，
∴EC=14，
∵M(jìn)為OB的中點(diǎn)，
∴BM=4，AM=12，
∵

AM

EM

=

MC

MB

∴AM•BM=EM•CM=48，且EM＞MC，
∴EM=8；

（3）解：過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，
∵OE=8，EM=8，
∴OE=EM，
∴OF=FM=2，
∴EF=

82-22

=2

15

∴sin∠EOB=

EF

OE

=

2 15

8

=

15

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義、勾股定理的知識點(diǎn)，本題關(guān)鍵根據(jù)已知條件和圖形作好輔助線，結(jié)論就很容易求證了．